# Dijkstra's Algorithm
그래프 중에서 `최단 경로`를 찾는 알고리즘중에 하나로 하나의 정점에서 다른 모든 정점까지의 최단경로를 구하는 알고리즘 (single-source shortest path algorithmm)
`우선순위 큐`의 방법을 이용하는 알고리즘이다.
vertex를 한개씩 선택하며 최단 경로를 찾는 방법.
`relax`의 개념을 이용하며 relax는 현재 계산된 v노드까지의 거리보다 현재 노드 u까지의 경로와 u에서 v의 가중치 ( `e(u,v)` ) 가 더 작다면 값을 갱신해주는 것.
`relax`는 prim 알고리즘의 `decrease-key`와 유사하며 dp를 추가한 개념
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## 특징
* 탐욕적인 방법( Greedy Method )
* 정점 선택 기반
* 음의 가중치 허용 x
* 시작 정점부터 출발하여 최소 비용의 간선을 갖는 정점을 선택하여 신장 트리 집합을 단계적으로 확장
* 밀집 그래프에 적합
* 자료구조중 하나인 `우선순위 큐`를 이용하며, 우선순위 큐를 어떻게 구현했는가가 시간복잡도에 영향
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## Pesudo Code
```
Dijkstra(G, w , s){
INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
S <- ∅ Q <- V[G]
while Q != ∅
do u <- EXTRACT-MIN(∅)
s <- S ∪ {u}
for each vertex v ∈ Adj[u]
do RELAX(u, v, w)
}
```
```
RELAX(u,v,w)
if v.d > u.d + w(u,v)
v.d = u.d + w(u,v)
v.π = u
```
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## 구현 방법
`Prim's 알고리즘`에서 `decrease key` 부분을 `dp`를 이용한다는 것 빼고 다른 것이 없다.
1. vertex들의 key값을 Infinity로 초기화한다.
2. start vertex의 key값을 0으로 초기화한다. (어떤 vertex를 선택하더라고 MST가 나온다.)
3. 현재 vertex에 인접한 vertex들 중 선택하지 않았고, 가장 vertex의 key값이 작은 vertex을 찾는다. (`exract-min = 최소값 추출`)
4. 현재 vertex를 선택한다.
5. 인접한 vertex중 vertex의 key값보다 간선의 가중치와 현재까지의 거리의 합이 더 작다면 key값을 가중치와 현재까지의 거리의 합으로 갱신 한다. (`RELAX`)
6. 인접한 vertex중 선택하지 않았고, 가장 vertex의 key값이 작은 vertex를 기준으로 `3번`부터 다시 반복한다.
7. 모든 vertex가 선택되었다면 끝난다.
### 인접 행렬
***
위에 설명한 `3번 방법`의 extract-min을 아래와 같이 배열로 구현하며, 매번 V회 반복한다.
```cpp
int v = -1; //인접 vertex중 가장 작은 가중치를 갖는 vertex
int min_key = INFINITY; //인접 vertex중 가장 작은 가중치
/* 인접 vertex중 가장 작은 가중치를 갖는 vertex 찾기*/
for (int j = 0; j < V; j++) {
if (!selected[j] && (min_key > vertex_key[j])) {
v = j;
min_key = vertex_key[j];
}
}
```
아래는 `5번 방법`으로 인접한 vertex중 vertex의 key값보다 간선의 가중치와 현재까지의 거리의 합이 더 작다면 key값을 가중치와 현재까지의 거리의 합으로 갱신 한다.
잘 보면 알겠지만 `Prim's 알고리즘`과 비교해서 `vertex_key[selct_idx]`추가 되었다.
```cpp
for (int j = 0; j < V; j++) {
if (!selected[j] && vertex_key[j] > adjMatrix[select_idx][j] + vertex_key[select_idx]) {
vertex_key[j] = adjMatrix[select_idx][j] + vertex_key[select_idx];
}
}
```
### 인접 리스트
***
인접 리스트는 인접한 vertex의 가중치를 priority queue를 통해 저장한다.
때문에, `3번 방법의` exract-min은 맨앞에서 pop을 시켜 찾아주면 된다.
```cpp
int select_key = q.begin()->second;
int min_of_key = q.begin()->first;
q.erase(q.begin());
```
`5번 방법`으로 인접한 vertex중 vertex의 key값보다 간선의 가중치와 현재 정점까지의 거리의 합이 더 작다면 key값을 가중치와 현재 정점까지의 거리의 합으로 갱신 하는 방법은 아래와 같이 인접한 간선의 개수만큼 수행한다.
```cpp
/*select한 vertex와 인접한 간선인 e*/
for (auto e : adjList[select_key]) {
if (!selected[e.second] && vertex_key[e.second] > e.first + vertex_key[select_key]) {
q.erase({vertex_key[e.second], e.second}); //같은 노드로 향하는 간선중 weight가 더 작은 간선이 있다면 그 전 간선은 삭제
q.insert({e.first, e.second}); //큐에 삽입
vertex_key[e.second] = e.first + vertex_key[select_key];
}
ㅋ}
```
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## 시간 복잡도
`Prim's 알고리즘`과 동일하다.
시간복잡도는 초기화하는데 O(|V|), MST계산하는데 O(|V|) \* T(extract-min) (가장 적은 값 추출하는데 걸린시간) + O(|E|) \* T(RELAX) ( key값 변경하는데 걸리는 시간 )와 같다.
따라서, priority-queue를 어떻게 구현했는지에 따라 시간복잡도가 달라진다.
일반 배열로 구현했을 경우 T(extract)가 O(|V|), T(RELAX)는 O(1)만큼 걸려 총 O(|V^2|)이 걸린다.
binary heap(이진 힙)으로 구현하면 T(extract)가 O(lgV), T(RELAX)는 O(lgV)만큼 걸려 총 O(VlgV) + O(ElgV) 이기 때문에 O((E+V)lgV)만큼 걸린다.\
무방향 그래프일때 E의 최소값은 V-1로 거의 대부분이 |E| > |V| 이므로 O(|E|lg|V|)라고 할 수 있다.
priority queue를 이진 힙이 아닌 fibonacci heap으로 구현하면 RELAX의 시간을 좀더 줄일 수 있다.\
RELAX시간이 O(1)만큼 걸리기 때문에 O(E+VlgV)라고 할 수 있다.\
O(E) or O(VlgV) 인 이유는 최악의 경우에 E는 O(V^2)이기 때문이다.
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## 구현 코드
아래 코드는 사이클이없는 무방향의 그래프이고, 가중치를 무작위로 생성한 그래프이다.
소스코드 c++ ( 접기 / 펼치기 )
```cpp
#include //시간 측정
#include //for_each
#include //rand
#include //time
#include
#include
#include
#define INFINITY 2147483647
#define II std::pair // first = weight, second = dest
typedef struct edge {
int src; //출발 vertex
int dest; //도착 vertex
int weight; //가중치(비용)
} edge;
class Graph {
private:
edge e;
public:
Graph(int src = 0, int dest = 0, int weight = 0) {
this->e.src = src;
this->e.dest = dest;
this->e.weight = weight;
}
int getSrc() { return this->e.src; }
int getDest() { return this->e.dest; }
int getWeight() { return this->e.weight; }
};
void CalcTime();
void randomPush(std::vector &); // graph에 사이클 없는 연결그래프 cost값 무작위 생성
void print_edge_info(std::vector); // graph 간선들 보기
void make_adj_list(std::vector, std::vector> &); //주어진 그래프를 인접리스트로 표현
void make_adj_matrix(std::vector, std::vector> &); //주어진 그래프를 인접행려로 표현
int dijkstra_heap(std::vector &, std::vector>, int);
int dijkstra_array(std::vector &, std::vector>, int);
int V; // vertex 개수
clock_t start, finish, used_time = 0; //실행 시간 측정을 위한 변수
int main() {
std::vector g; // graph g
int minimum_weight = 0; // minimum cost
std::vector> adjMatrix;
std::vector> adjList;
randomPush(g); //간선 random 삽입
// 10print_edge_info(g); // edge info print
make_adj_matrix(g, adjMatrix); //주어진 그래프를 인접행렬로 만들기
make_adj_list(g, adjList); //주어진 그래프를 인접리스트로 만들기
start = clock();
// minimum_weight = dijkstra_heap(g, adjList, 0); //binary heap을 이용한 구현
minimum_weight = dijkstra_array(g, adjMatrix, 0); // array 이용한 구현
finish = clock();
std::cout << "\nall route dis : " << minimum_weight << std::endl;
CalcTime();
return 0;
}
int dijkstra_heap(std::vector &g, std::vector> adjList, int start) {
int sum = 0;
std::set q; //이진힙으로 queue 만들기 ( set은 red-black tree로 만들어짐 )
std::vector vertex_key(V, INFINITY); // vertex의 최소 weight값 계산
std::vector selected(V, false); //선택된 vertex인가
vertex_key[start] = 0;
q.insert(II(0, start)); //시작 노드 가중치 0으로 시작
std::cout << "\nstart : 0\n";
/*Vertex만큼 반복*/
while (!q.empty()) {
/*extract min*/
int select_key = q.begin()->second;
int min_of_key = q.begin()->first;
q.erase(q.begin());
sum += min_of_key;
selected[select_key] = true;
std::cout << "dest : " << select_key << " (dis : " << vertex_key[select_key] << ")" << std::endl;
/*decrease key*/
for (auto e : adjList[select_key]) {
if (!selected[e.second] && vertex_key[e.second] > e.first + vertex_key[select_key]) {
q.erase({vertex_key[e.second], e.second}); //같은 노드로 향하는 간선중 weight가 더 작은 간선이 있다면 그 전 간선은 삭제
q.insert({e.first, e.second}); //큐에 삽입
vertex_key[e.second] = e.first + vertex_key[select_key];
}
}
}
std::cout << std::endl;
return sum;
}
int dijkstra_array(std::vector &g, std::vector> adjMatrix, int start) {
int sum = 0;
std::vector vertex_key(V, INFINITY); // vertex의 최소 weight값 계산
std::vector selected(V, false); //선택된 vertex인가
vertex_key[start] = 0;
std::cout << "\nstart : 0\n";
/*Vertex만큼 반복*/
for (int i = 0; i < V; i++) {
/*extract min*/
int select_idx = -1, min_of_key = INFINITY;
for (int j = 0; j < V; j++) {
if (!selected[j] && min_of_key > vertex_key[j]) {
select_idx = j;
min_of_key = vertex_key[j];
}
}
sum += min_of_key;
selected[select_idx] = true;
std::cout << "dest : " << select_idx << " (dis : " << vertex_key[select_idx] << ")" << std::endl;
/*decrease key*/
for (int j = 0; j < V; j++) {
if (!selected[j] && vertex_key[j] > adjMatrix[select_idx][j] + vertex_key[select_idx]) {
vertex_key[j] = adjMatrix[select_idx][j] + vertex_key[select_idx];
}
}
}
std::cout << std::endl;
return sum;
}
void make_adj_list(std::vector g, std::vector> &adj) {
adj.resize(V);
bool isEdge;
for (int i = 0; i < g.size(); i++) {
isEdge = false;
int src = g[i].getSrc();
int dest = g[i].getDest();
int weight = g[i].getWeight();
/*동일 vertex로 향하는 간선중 가장 작은 값만가지고 인접 리스트를 만들기 위한 코드*/
if (adj[src].empty()) {
adj[src].push_back({weight, dest});
} else {
for (int j = 0; j < adj[src].size(); j++) {
if (adj[src][j].second == dest) {
isEdge = true;
if (adj[src][j].first > weight) {
adj[src][j].first = weight;
}
}
}
if (!isEdge) adj[src].push_back({weight, dest});
}
}
}
void make_adj_matrix(std::vector g, std::vector> &adj) {
adj.assign(V, std::vector(V, INFINITY));
for (int i = 0; i < g.size(); i++) {
int src = g[i].getSrc();
int dest = g[i].getDest();
int weight = g[i].getWeight();
if (adj[src][dest] > weight) {
adj[src][dest] = weight;
}
}
}
/*vertex수 입력받은 후 그래프 간선 가중치 random 삽입*/
void randomPush(std::vector &g) {
std::cout << "create number of Vertex : ";
std::cin >> V;
srand((unsigned int)time(NULL));
for (int i = 0; i < V - 1; i++) {
g.push_back(Graph(i, i + 1, rand() % 1000));
for (int j = i + 1; j < V; j++) {
g.push_back(Graph(i, j, rand() % 1000));
}
}
for (int i = (rand() % 3); i < V - 1; i += (rand() % 10)) {
g.push_back(Graph(i, i + 1, rand() % 1000));
for (int j = i + 1; j < V; j += (rand() % 10)) {
g.push_back(Graph(i, j, rand() % 1000));
}
}
}
void print_edge_info(std::vector g) {
std::cout << "edge info : \n";
std::for_each(g.begin(), g.end(), [](Graph a) {
std::cout << "src : " << a.getSrc() << " desc : " << a.getDest() << " weight : " << a.getWeight() << std::endl;
});
}
//실행 시간을 측정 및 출력하는 함수
void CalcTime() {
used_time = finish - start;
printf("\n*********** result **********\n time : %lf sec\n", (double)(used_time) / CLOCKS_PER_SEC);
}
```
---
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```
GET https://nelmm.gitbook.io/til/algorithm/dijkstra.md?ask=
```
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